F - Three Gluttons(CODE FESTIVAL 2017 qual C)

この問題です。
F - Three Gluttons


というわけで解説と考察の道筋を書きます。

実際にした考察

「AとBの残っている寿司」と「あと何個食べるか」を引数にDPが出来そう

  • 「状態」が2^Nになるなぁ...。状態をNで表せるとO(N^3)で解けそう。
  • でも表せたとしてDPの遷移を思いつかないな...

...色々試します...
始めは必ず取らないといけないとか、最後二つは絶対に取れないとか考えましたが、そこから派生出来ない...
(真隣に依存する操作が無い為、端が決まっても嬉しくないなぁ...)

そのうち「逆順をやってみるか」と思います。
逆順で状態をNで表せるように頑張ります。
...そもそもこの問題の場合の逆順ってなんだ???(しばらく混乱)
(ちなみに考察中は逆順に「食べる」という用語で考察したんですが、書いてみたら紛らわしかったので「吐き出す」と書いておきます)

  1. けんかしないで最後まで取る=>0個のこる
  2. そこから一個取る前の状態に戻す
  3. ああ、後ろ二つは絶対に取れないんだっけ。後ろから三つ目に吐き出すか?
  4. なんで後ろから三つ目でないといけないんだ??<=ここ詰めよう
  5. DPみたいにしたいので、今吐き出したものの順位をa,b(0<=a,b<N)と置くか

Aさんが一個目にxを吐き出すとき、他の人はxを食べられないので、Bさんがxをb以上の順位にしていると困るな...
(補足:Bさんがxをbよりも上の順位にしている場合、xもB[b]も残っている状況ではBさんはxを取りたいのでけんかが起こります)
=>逆に言えば、Aさんが吐き出せるのはBさんにとってbよりも下の順位のものだけだな???
ということは...
Aにとってaより上の順位のもの:必ず吐き出すことが可能、下の順位のもの:後からは絶対に吐き出せない
(補足:a<jについてAさんはA[j]よりもA[a]を先に食べる<=>A[j]よりもA[a]を後に吐き出す)
Bも同じ
=>これなら「AとBの残っている(吐き出せる寿司)寿司」をa,bという境界を持ってやることでN^2通りで表せる!
=>よしO(N^3)DP出来た!!!

...これは罠で、DPの状態(引数)は決めることが出来ましたが、まだ遷移が出来ていません。
考えます。

吐き出せるやつを全部試すとN^2かかって間に合わないし...
...思いつかないですね。

仕方がないので「吐き出せるやつを全部試す」の方針をもう一度考えます。
...そういえばこれって、前の方のやつを全部足す形だな...
=>累積和が使えるパターンでは!??(ここは一般的なテクとして知識を持っておかないと辛い)

こういう問題の場合、僕はコードを実際に書いて、それを無理やり整形して解くことが多いので、出来そうという方針が立ったこの段階でコードを書き始めます。

DPの説明

後半にコードが書いてあるので、そちらと見比べながら見てください。

DPの定義式を考えます。
本番中僕は言語化せずに感覚的にやってしまったのですが、頑張って言語化します。

DP[a][b][taberu]を

  • 「Aはa、Bはbを直前に吐き出した」つまり「Aはaより好きなものを、Bはbより好きなものを吐き出すことが出来る」
  • 「A,B,Cはあとtaberu個吐き出す」

の条件を満たすようにCを作ったとき、作れるCの通り数
とします。
A,Bの先頭を吐き出すまでCの構成を続けるので、完成した場合であるa=0,b=0のときCの通り数は1です。
つまり
DP[0][0][0] = 1
です。

例えば、
入力例 3

6
1 2 3 4 5 6
2 1 4 3 6 5

の時は
DP[2][2][1]=20
みたいになります。
a,b,は0-indexed、taberuは個数(0個1個2個...N個)であることに注意してください。
(計算方法は後述)


「次にA,Bが吐き出すものの順位」をnext_a,next_bとします。(これは二重ループで決め打ちします)
A[i],B[i]を問題文通りに、i番目に好きな寿司とします。(コードでは0-indexed)
Aがxが何番目に好きかをN_EATED_A[x]、Bがxが何番目に好きかをN_EATED_B[x]とします。(変数の命名は突っ込まない約束です)
AがA[next_a]を吐き出す為には、BがB[next_b]よりもA[next_a]が嫌いである、つまりnext_b < N_EATED_B[A[next_a]]である必要があります。
同様にBがB[next_b]を吐き出す為にはnext_a < N_EATED_A[B[next_b]]である必要があります。
これを満たしているとき、AはA[next_a]、BはB[next_b]を吐き出します。
この時のCの通り数を計算します。

Cは自由に決められるので、吐き出すごとに生まれる制約を使ってCを少しずつ決めてやるイメージでやります。

Cが吐き出すものをA,Bと同じようにC[next_c]と仮置きします。あとN_EATED_C[x]も同じように仮置きします。
まず、A,Bの時と同じ理由で、next_c < N_EATED_C[A[next_a]] かつ next_c < N_EATED_C[B[next_b]]である必要が有ります。
なので、next_cの前にA[next_a]とB[next_b]を好きな順番で入れます。
また、これまたA,Bのときと同じ理由で、next_a < N_EATED_A[C[next_c]] かつnext_b < N_EATED_B[C[next_c]]である必要が有ります。
これを満たす為に、C[next_c]は上の条件を満たす寿司から一つ選んで吐き出します。
f:id:eiya5498513:20171023103858j:plain
この通り数が、コードの

*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3)

に相当します。
tabetaは「今までに吐き出した数」です。(コードは本番のものなので、「吐き出す」が「食べる」になっています)
始め二つが、「A[next_a]とB[next_b]を好きな順番で入れる」の通り数です。Cの中で順番が確定しているのは「今までにA,B,Cが吐き出した総数」個です。そこに好きな順番でA[next_a]とB[next_b]を入れるのでこうなります。
最後は、C[next_c]の選び方の通り数です。C_tori[a_next][b_next]は「next_a < N_EATED_A[x] かつnext_b < N_EATED_B[x]」を満たすxの数です。このうち、「今までにA,B,Cが吐き出した総数」個は既に吐き出されているので、Cが新たに吐き出せるのは(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3)個です。

a_next,b_nextが決まっているときの遷移は、Cを適当に決める=>次の状態に移るという動作をし、これがCの構成の一つのパターンです。
これで遷移を書くと↓のようになります。(言語での説明ができなかった人の顔)

mint res = 0;
int32_t tabeta = eat_all - taberu;
for (int32_t a_next = a-1; a_next >= 0; --a_next)
for (int32_t b_next = b-1; b_next >= 0; --b_next)
{
	//↓つまり、「AがA[a_next],BがB[b_next]を食べる」というのが可能ならば
	if (b_next &lt; N_EATED_B[A[a_next]] && a_next &lt; N_EATED_A[B[b_next]] && (C_tori[a_next][b_next] > tabeta*3)) {
		//Cを適当に決める=>次の状態に移るという動作をするので
		//通り数を数えるDPと同じようにしてやった後、Cの選び方をかける
		res += func(a_next, b_next, taberu - 1)*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3);
	}
}

↓考察ノート(本番に実際使ったもの)
f:id:eiya5498513:20171023000702j:plain

↓この段階でのコード(メモ化していないので、O(N^5)よりもさらに遅いです)
本番で使ったコードのバグを少し直しただけなので、「吐き出す」が「食べる」になっています。
mintの定義は省略してありますが、要はmodを勝手にとるintです。詳しくはこちら:C++14用mod_int - 永夜の記録

int32_t eat_all;
int32_t N_EATED_A[400];
int32_t N_EATED_B[400];
int32_t C_tori[400][400];//a,b
int32_t N;
int32_t A[400];
int32_t B[400];
mint func(int a, int b, int taberu)
{
	if (a == 0 || b == 0) {
		if (a == 0 && b == 0 && taberu == 0) {
			return 1_mi;
		}
		else {
			return 0_mi;
		}
	}
	if (taberu == 0) {
		assert(false);
		return 0_mi;
	}

	mint res = 0;
	int32_t tabeta = eat_all - taberu;
	for (int32_t a_next = a-1; a_next >= 0; --a_next)
	for (int32_t b_next = b-1; b_next >= 0; --b_next)
	{
		if (b_next < N_EATED_B[A[a_next]] && a_next < N_EATED_A[B[b_next]] && (C_tori[a_next][b_next] > tabeta*3)) {
			res += func(a_next, b_next, taberu - 1)*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3);
		}
	}
	return func3(a, b, taberu);
}

int main()
{
	using std::endl;
	in.sync_with_stdio(false);
	out.sync_with_stdio(false);
	in.tie(nullptr);
	out.tie(nullptr);

	in >> N; eat_all = N / 3;
	for (int32_t i = 0; i < N; i++)
	{
		in >> A[i]; --A[i];
		N_EATED_A[A[i]] = i;
	}
	for (int32_t i = 0; i < N; i++)
	{
		in >> B[i]; --B[i];
		N_EATED_B[B[i]] = i;
	}


	for (int32_t a = N - 1; a >= 0; --a)
		for (int32_t b = N - 1; b >= 0; --b)
		{
			if (b == N - 1) {
				C_tori[a][b] = 0;
			}
			else {
				C_tori[a][b] = C_tori[a][b + 1];
				//B[b+1]が使えるようになる
				if (a < N_EATED_A[B[b + 1]]) {
					++C_tori[a][b];
				}
			}
			//for (int32_t i = 0; i < N; i++)
			//{
			//	if(a<N_EATED_A[i] && b<N_EATED_B[i])
			//		++C_tori[a][b];
			//}
		}

//Nよりも順位が良い全てのもの、つまり全ての寿司を吐き出せます

	out << func(N, N, eat_all) << endl;

	return 0;
}

オーダーを減らす

この段階で、O(N^5)の解法が出来たので、オーダーを減らします。
先ほども書きましたが、

for (int32_t a_next = a-1; a_next >= 0; --a_next)
for (int32_t b_next = b-1; b_next >= 0; --b_next)
{
	if (b_next < N_EATED_B[A[a_next]] && a_next < N_EATED_A[B[b_next]] && (C_tori[a_next][b_next] > tabeta*3)) {
		res += func(a_next, b_next, taberu - 1)*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3);
	}
}

が累積和っぽいテクを使うことで減らせます。(ここは発想ではなく知識です)
ここでeiya流雑なDPを使ってまずbのループを消していきます。

for (int32_t a_next = a-1; a_next >= 0; --a_next)
	res += func2(a_next,b,taberu);

になるようにfunc2を書きます。
とりあえずコピペしてメモ化します。

bool DP2_u[400][400][400];
mint DP2[400][400][400];
mint func2(int32_t a_next, int32_t b, int32_t taberu)
{
	if (DP2_u[a_next][b][taberu]) {
		return DP2[a_next][b][taberu];
	}
	DP2_u[a_next][b][taberu] = true;

	mint res = 0;
	int32_t tabeta = eat_all - taberu;
 
	for (int32_t b_next = b-1; b_next >= 0; --b_next)
	{
		if (b_next < N_EATED_B[A[a_next]] && a_next < N_EATED_A[B[b_next]] && (C_tori[a_next][b_next] > tabeta*3)) {
			res += func(a_next, b_next, taberu - 1)*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3);
		}
	}
	return DP2[a_next][b][taberu] = res;
}

func2は[0,b)の

if (b_next < N_EATED_B[A[a_next]] && a_next < N_EATED_A[B[b_next]] && (C_tori[a_next][b_next] > tabeta*3)) {
	res += func(a_next, b_next, taberu - 1)*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3);
}

の和なので、こうします。

bool DP2_u[400][400][400];
mint DP2[400][400][400];
mint func2(int32_t a_next, int32_t b, int32_t taberu)
{
	if(b==0){return 0_mi;}//0_miはmint(0)と同じ意味です。
	if (DP2_u[a_next][b][taberu]) {
		return DP2[a_next][b][taberu];
	}
	DP2_u[a_next][b][taberu] = true;

	mint res = 0;
	int32_t tabeta = eat_all - taberu;
 	
 	//b_next==b-1の処理
	int b_next = b-1;
 	if (b_next < N_EATED_B[A[a_next]] && a_next < N_EATED_A[B[b_next]] && (C_tori[a_next][b_next] > tabeta*3)) {
		res += func(a_next, b_next, taberu - 1)*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next]- tabeta*3);
	}
	//b_nextが[0,b-1)の処理
	res += func2(a_next, b-1, taberu);
	return DP2[a_next][b][taberu] = res;
}

これでfunc2の一回当たりの実行時間はO(1)になりました。

なのでfuncの

for (int32_t a_next = a-1; a_next >= 0; --a_next)
	res += func2(a_next,b,taberu);

はこの時点でO(N)です。

同じようにfuncのaのループも消すとこうなります。
実際に書いたコードはこっち:
Submission #1705609 - CODE FESTIVAL 2017 qual C

int32_t eat_all;
int32_t N_EATED_A[400];
int32_t N_EATED_B[400];
int32_t C_tori[400][400];//a,b
int32_t N;
int32_t A[400];
int32_t B[400];
mint func(int a, int b, int taberu);

bool DP2_u[400][400][400];
mint DP2[400][400][400];
mint func2(int32_t a_next, int32_t b, int32_t taberu)
{
	if (b == 0) { return 0_mi; }//0_miはmint(0)と同じ意味です。
	if (DP2_u[a_next][b][taberu]) {
		return DP2[a_next][b][taberu];
	}
	DP2_u[a_next][b][taberu] = true;

	mint res = 0;
	int32_t tabeta = eat_all - taberu;

	//b_next==b-1の処理
	int b_next = b - 1;
	if (b_next < N_EATED_B[A[a_next]] && a_next < N_EATED_A[B[b_next]] && (C_tori[a_next][b_next] > tabeta * 3)) {
		res += func(a_next, b_next, taberu - 1)*(3 * tabeta + 1)*(3 * tabeta + 2)*(C_tori[a_next][b_next] - tabeta * 3);
	}
	//b_nextが[0,b-1)の処理
	res += func2(a_next, b - 1, taberu);
	return DP2[a_next][b][taberu] = res;
}

bool DP3_u[400][400][400];
mint DP3[400][400][400];
mint func(int a, int b, int taberu)
{
	if (a == 0 || b == 0) {
		if (a == 0 && b == 0 && taberu == 0) {
			return 1_mi;
		}
		else {
			return 0_mi;
		}
	}
	if (taberu == 0) {
		return 0_mi;
	}

	if (DP3_u[a][b][taberu]) {
		return DP3[a][b][taberu];
	}
	DP3_u[a][b][taberu] = true;

	auto a_next = a - 1;
	DP3[a][b][taberu] += func2(a_next, b, taberu);
	DP3[a][b][taberu] += func(a - 1, b, taberu);
	return DP3[a][b][taberu];
}

int main() {
//先ほどと同じなので省略
}

この時点でO(N^3)で、MLEです。

メモリ節約

DPのメモリを節約する一般的なテク、DP配列の使いまわしをします。(ここも知識)

DPが二つに分かれているので分かりにくいですが、再帰の起点であるfuncから処理を追っていくと、
taberu==tのときの更新の際、直接呼び出しているのは(つまり、漸化式に入っているのは)

  • a,bがより低くtaberu==tのfunc又はfunc2
  • taberu==t-1のfunc又はfunc2

のみであることが分かります。
よって、taberuを0~Nまで増やしていく方向にforDPをすると、taberuを節約できることが分かります。
この方針で再帰をforDPに書き直すとMLEを解決出来て、ACできます。

実際に書いたコード:Submission #1705841 - CODE FESTIVAL 2017 qual C
解説用に書き直したコード:Submission #1707527 - CODE FESTIVAL 2017 qual C

解いた経緯


(注:9時から19時まで模試でした)

旧AtCoderからbetaAtCoderに移るスクリプト(未完)

AtCoderからbetaAtCoderに移るtampermonkey用スクリプトです。
上の方に変なのが見えるようになります。
使えればよし精神を大事にしていこうな(逃げ)
僕にはこれが限界なので、もっと良いのを誰か作って。

追記>Luzhiledさんが作ってくれた。ありがとうございます。
Luzhiled's page


↓僕の (Luzhiledさんのを使うのがおススメですが、一応残しておきます)

// ==UserScript==
// @name         old atcoder to new atcoder
// @namespace    https://twitter.com/eiya5498513
// @version      1.0
// @description  ja
// @author       eiya
// @match        http://*.contest.atcoder.jp/*
// @match        https://*.contest.atcoder.jp/*
// @grant        none
// ==/UserScript==

(function() {
  'use strict';
  const url = location.href.replace(/\/&/, "");
  const contest_name = url.replace(/^https?:\/\//,'').split('.')[0];
  const end_name = url.replace(/^https?:\/\/.+\.contest\.atcoder\.jp\/?/,'');
  const beta_url = "https://beta.atcoder.jp/contests/"+contest_name + "\/" + end_name;
  const style = /font-family:Helvetica Neue, Helvetica, Arial,sans-serif;font-size:200%;/;
  const beta_html_text = "<div style=\"" + style + "\"><a href=\""+ beta_url + "\">beta版</a></div>";

  $('div.container').append(beta_html_text);
})();

動作図
f:id:eiya5498513:20171019231501j:plain

最古の遺跡解説

この問題です

ジャッジ:C - 最古の遺跡
問題:https://www.ioi-jp.org/joi/2006/2007-ho-prob_and_sol/2007-ho.pdf

オーダー的にO(N3)が辛くてO(N2)が通るので、O(N2)を考えます。 二点を固定して、残りの二頂点C,Dに点があるかを判定すれば良いです。
f:id:eiya5498513:20171008203034j:plain

まずは、C1,D1に頂点があるかを確認します。
この後はC1,D1をただC,Dと呼びます。

ここで予めある座標に頂点があるかどうかをbool配列でもっておくと、あとはC1,D1の座標を求めるだけであるなしが判定できます。

なんとなく正方形ABCDを回転していない正方形で囲ってみます。(なぜこの発想になるのかの説明は余裕があったら追記します...)
f:id:eiya5498513:20171008203947j:plain

x = Bx - Ax、y = By - Ayとなるようにx,yを取ります。そうするとx,yは上図のようになります。
ここで、三角形ABO1≡三角形CAO2なので、CO2==x、O2A==yです。
f:id:eiya5498513:20171008204448j:plain

よって、Cx = Ax - y、Cy = Ay + xで求められることが分かります。
又、DはDx = Cx + x、Dy = Cy + yで求まります。

この図はA->Bが右上がりの時の図なので、A->Bが右下がりの時どうなるか考えてみます。

どんどんBを下げていくと、こうなります。
f:id:eiya5498513:20171008205141j:plain
この時は三角形が作れないですが、無理やりy==0と考えてやると、上手く行くことが分かります。

Bをもっと下げてみます。
f:id:eiya5498513:20171008205336j:plain
図の形が変わりました。
xとyをそのまま負数に拡張してやると、図のようになり、式を変えずにそのまま計算することが出来ます。

xが負の時も同じように考えると、式を全く変形せずにCx = Ax - y、Cy = Ay + x、Dx = Cx + x、Dy = Cy + yの式で良いことが分かります。

次にC2,D2について考えます。
Aを中心にxとyを反転させる(Aを中心に紙を180度回す)と図のようになります。 回転後のBをA'、回転後のAをB'と考えると、C1',D1'がそれぞれC2,D2に対応します。
よって、「AとBを入れ替えてもう一度C1,D1を求める処理をする」とC2,D2の座標を求めることが出来ます。

ここで、C2,D2を求めるときに行っているのはAとBを交換する作業であることから、AとBの選び方をいつものように組み合わせを考えるときの以下のfor分

for(int a=0;a < N;++a)for(int b = a+1;b < N;++b)

を使うと思いますが、今回は

for(int a=0;a < N;++a)for(int b = 0;b < N;++b){
if(a==b){continue;}
//処理
}

とa,bの順番も考慮してやることで、C1,D1の座標を求めるコードのみにしてやることが出来ます。

ところで、a==bの時は何が起こるのでしょう。
この時は同じ頂点二つを使って正方形を作ろうとし、その4頂点は全て同じ座標に存在するので、正方形が作れてしまいます。
しかし実際は4頂点を選んで正方形を作らないといけないので、作ってはいけない正方形を作ってしまいます。これは弾く必要が有ります。
しかしよく考えると、この時正方形の面積は0、つまり正方形の最小の面積1よりも小さいので、実は「正方形が存在する場合は」弾いてやらなくても面積のmaxを取る段階で弾くことが出来ます。
逆に面積のmaxが0のときは正方形が一つも存在しないということなので、例外処理である0を出力する必要が有ります。
が、値が0の時に0を出力するという処理になっているので、結局そのまま出力すれば良いことが分かります。

この方針でコードを実装してやるとこうなります。短く書けるのでバグを埋め込みにくくなります。
Submission #1671065 - 第6回日本情報オリンピック 本選(オンライン)

tupleを展開して関数に渡す関数

tupleを展開して関数に渡す関数
boostを使えば出来るらしいけど、知らない。
出来栄えはかなり雑です。

template <class F, class... Ts, class... Us>
typename std::enable_if<
	sizeof...(Us) == sizeof...(Ts),
	std::result_of_t<F(Ts...)>>::type
	apply_impl(F&& fun, std::tuple<Ts...>&, Us&... us)
{
	return fun(us...);
}
template <class F, class... Ts, class... Us>
typename std::enable_if<
	sizeof...(Us) < sizeof...(Ts),
	std::result_of_t<F(Ts...)>>::type
	apply_impl(F&& fun, std::tuple<Ts...>& args, Us&... us)
{
	return apply_impl(fun, args, us..., std::get<sizeof...(Us)>(args));
}
template <class F, class... Ts>
std::result_of_t<F(Ts...)> apply(F&& fun, std::tuple<Ts...>& args)
{
	return apply_impl(fun, args);
}

使用例

template <class... Ts>
auto pop_front(std::tuple<Ts...>& args)
{
	return apply([](auto&&, auto&&... v) {return std::make_tuple(v...); }, args);
}

プリム法の証明

かなり乱暴なことをしている気がします。厳密な証明は他をあたってください。

プリム法とは

最小全域木を構成するアルゴリズムの一つです。
以下の手順で行います。

  1. ある頂点を選び、木Tに追加します
  2. 木Tから最も近い頂点を木Tに追加します
  3. Tが全域木になるまで2を繰り返します
  4. Tは最小全域木です

プリム法の証明

1が終わった段階で、木Tは頂点を一つ含む木です。このとき明らかに、木Tは最小全域木の部分木です。

木Tが最小全域木の部分木であるとします。
木Tから、Tに含まれない頂点に対する辺の内、最もコストが小さい辺をe、その辺の結ぶ頂点の内Tに含まれない方をvとします。
f:id:eiya5498513:20170830211615p:plain
操作2では木Tに辺eを追加します。これは、最小全域木に辺eが含まれるからです。
これを背理法で証明します。
最小全域木に辺eが含まれないと仮定します。
このとき、辺eを含まないある全域木をUが最小全域木だとします。
f:id:eiya5498513:20170830210508p:plain
Uにはvが含まれているので、Uには「Tに含まれる頂点->(Tに含まれない頂点Xnが0個以上)->v」という辺eを使わない経路が存在します。(図の緑+黄色)
(しない場合は、vへの辺が無いことになるので、Uが全域木であることに矛盾します。)
f:id:eiya5498513:20170830211352p:plain
この「Tに含まれる頂点->X1(又はv)」の辺をfとします。
最小全域木からfを取り除いて、eを追加した木は、明らかに全域木です。
又、この全域木は、Uよりもコストの合計が低いです。
これは、Uが最小全域木であるので矛盾します。
よって、「最小全域木に辺eが含まれない」という仮定は誤りです。
よって、最小全域木に辺eが含まれます。
よって、木Tに辺eを追加した木も最小全域木の部分木です。

おまけ

O(V^2)プリム法のコード(ほぼ蟻本のコピペ)

int cost[MAX_V][MAX_V]; // cost[u][v]は辺e=(u,v)のコスト(存在しない場合はINF)
int mincost[MAX_V]; // 集合Xからの辺の最小コスト
bool used[MAX_V]; // 頂点iがXに含まれているか
int V; // 頂点数
int prim() {
	for (int i = 0; i < V; ++i) {
		mincost[i] = INF;
		used[i] = false;
	}
	mincost[0] = 0;
	int res = 0;
	while (true) {
		int v = -1;
		// Xに属さない頂点のうちXからの辺のコストが最小になる頂点を探す
		for (int u = 0; u < V; u++) {
			if (!used[u] && (v == -1 || mincost[u] < mincost[v])) v = u;
		}
		if (v == -1) break;
		used[v] = true; // 頂点vをXに追加
		res += mincost[v]; // 辺のコストを加える
		for (int u = 0; u < V; u++) {
			mincost[u] = std::min(mincost[u], cost[v][u]);
		}
	}
	return res;
}

O(ElogE)プリム法(自作)
O(ElogV)が存在するはずなので、誰か教えてください...
恐らく、二重辺を認めないor消去して、O(ElogE)→O(Elog(V^2))→O(ElogV)とやると思われる。(Luzhiledプロありがとうございます)

#include <queue>
#include <vector>
#include <functional>
#include <utility>
#include <algorithm>
#include <iterator>

using COST_T = uint32_t;
constexpr uint32_t MAX_V = 変える;
constexpr COST_T INF = 変える;//std::numeric_limits<double>::infinity()

#if defined(_MSC_VER) && defined(_DEBUG)
static_assert(false, "リリースでコンパイルしないと遅いよ!!");
#endif

struct edge {
	uint32_t to;
	COST_T cost;
	edge() {}
	edge(uint32_t to_, COST_T cost_)
		:to(to_), cost(cost_) {}
};
std::vector<edge> graph[MAX_V];// 頂点vからの辺はgraph[v]
//O(V+ElogE)
COST_T prim(uint32_t s = 0) {
	static bool used[MAX_V]; // 頂点iがTに含まれているか
	for (int i = 0; i < MAX_V; ++i) {
		used[i] = false;
	}
	using Pair = std::pair<COST_T, uint32_t>;
	std::priority_queue<Pair, std::vector<Pair>, std::greater<Pair>> queue;
	queue.emplace(0, s);
	COST_T res = 0;
	while (!queue.empty()) {
		// Tからの辺のコストが最小になる頂点
		COST_T cost = queue.top().first;
		uint32_t v = queue.top().second; queue.pop();
		if (used[v]) { continue; }

		used[v] = true; // 頂点vをTに追加
		res += cost; // 辺のコストを加える
		for (auto& next : graph[v]) {
			if (used[next.to]) { continue; }
			queue.emplace(next.cost, next.to);
		}
	}
	return res;
}

O(ElogV)ダイクストラのテンプレ

O(ElogV)ダイクストラのテンプレ

#include <queue>
#include <vector>
#include <functional>
#include <utility>
#include <algorithm>
#include <iterator>

using COST_T = uint32_t;
constexpr uint32_t N_MAX = 変える;
constexpr COST_T INF = 変える;//std::numeric_limits<double>::infinity()

#if defined(_MSC_VER) && defined(_DEBUG)
static_assert(false, "リリースでコンパイルしないと遅いよ!!");
#endif

struct edge {
	uint32_t to;
	COST_T cost;
	edge() {}
	edge(uint32_t to_, COST_T cost_)
		:to(to_), cost(cost_) {}
};
std::vector<edge> graph[N_MAX];

//O(ElogV)ダイクストラ
COST_T D[N_MAX];
void Dijkstra(uint32_t s)
{
	using P = std::pair<COST_T, uint32_t>;//cost pos
	std::priority_queue<P, std::vector<P>, std::greater<P> > que;
	std::fill(std::begin(D), std::end(D), INF);

	D[s] = 0;
	que.emplace(0, s);
	while (!que.empty())
	{
		auto p = que.top(); que.pop();
		const auto& nowpos = p.second;
		const auto& nowcost = p.first;
		if (D[nowpos] < nowcost) { continue; }
		for (const auto& e : graph[nowpos])
		{
			auto cost = nowcost + e.cost;
			if (cost < D[e.to]) {
				D[e.to] = cost;
				que.emplace(cost, e.to);
			}
		}
	}
}

使用例

Dijkstra(0);

N次元配列を同じ値で埋めるテンプレ2

N次元配列を同じ値で埋めるテンプレ
キャストが要らないバージョン
シンプルなのはこっち:N次元配列を同じ値で埋めるテンプレ - 永夜の記録

#include <type_traits>
template<typename T, typename U>
typename std::enable_if<std::rank<T>::value == 0>::type fill_all(T& arr, const U& v) {
	arr = v;
}
template<typename ARR, typename U>
typename std::enable_if<std::rank<ARR>::value!=0>::type fill_all(ARR& arr, const U& v) {
	for (auto& i : arr) {
		fill_all(i, v);
	}
}

使用例

long long dp[1000][1000];
fill_all(dp,-1);//キャストが要らない